Goemetria fraktalna
W roku 1985 w Londynie w Muzeum Nauk Przyrodniczych zorganizowano wystawę, której tytuł brzmiał: „Granice chaosu: obrazy zespolonych układów dynamicznych”. Ekspozycję tą odwiedziło 140000 widzów w 100 miastach. Liczba zwiedzających pokazała jak ogromne jest zainteresowanie obrazami fraktalnymi. Fraktale i mocno z nimi związana teoria chaosu udowodniły jak potrafią być użyteczne w różnych dziedzinach nauki. Od medycyny, poprzez biologię po nauki informatyczne.
W informatyce fraktalne metody kompresji obrazu są jednymi z najlepszych algorytmów zmniejszających rozmiar pliku graficznego. Z łatwością można to wyjaśnić, przypominając sobie, jakie jest stanowisko teorii fraktali w grafice. Nie jest to opis piksel po pikselu, lecz przepis na jego stworzenie. W związku z rozkwitem grafiki fraktalnej uproszczona została praca grafików komputerowych. Gdy potrzebują oni obrazu stoku górskiego lub drzewa, zamiast przeszukiwać setki zdjęć, posługują się odpowiednimi modelami do generowania takich obrazów. Dzięki nim mogą wytworzyć obiekt dokładnie taki jakiego potrzebują. Krajobrazy fraktalne wykorzystano też w filmie. Planeta Genesis w filmie „Star Trek II: The Wrath of Khan” oraz Endora i zarysy Gwiazdy Śmierci z filmu „Gwiezdne wojny: Powrót Jedi” to twory fraktalne.
Sztuka abstrakcji w wersji fraktalnej rozwinęła się dzięki Peterowi Oppenheimerowi, który przy pomocy komputera tworzył dzieła sztuki. Cały ten kierunek zapoczątkował Richard Voss, tworząc znakomite fraktalne fałszerstwa. Jhane Barnes wykorzystywała wzory fraktalne do projektowania tkanin. Możliwości nowej geometrii są nieograniczone tak jak nieograniczone są umysły twórców, którzy ją tworzą. Mimo, iż jest stosunkowo młodą dziedziną na trwale już odcisnęła swoje piętno w wielu dziedzinach sztuki. Dzięki korzeniom w naturze oraz nauce zrzesza coraz więcej zwolenników i cieszy się ogromną popularnością, co można stwierdzić po ilości stron zindeksowanych przez
www.google.com. Fraktale to nie tylko zabawa dla znudzonych matematyków, mają one wymiar już nie tylko „fraktalny” ale i użytkowy. W rozdziale tym przedstawiony został tylko mały procent możliwości jakie daje nam współczesna nauka. Przykłady te rozsiane po różnych dziedzinach nauki i techniki, udowadniają jak fraktale i ich geometria są wszechstronne
Fraktale
Patrząc na świat, nie widać prostych kształtów, widoczne są zróżnicowane struktury często mające wiele cech fraktali. Gdy patrzy się na obiekty materialne w pewnym momencie stwierdza się, że mają one strukturę fraktalną. Poprawne jest stwierdzenie B. Mandelbrota -Fraktalem jest wszystko. Człowiek jednak z natury skłonny jest do uproszczeń. Zamiast skomplikowanych wzorów, którymi przyroda obdarowuje, widzi proste bryły geometryczne. Tak, więc lina horyzontu to prosta, drzewa to walce, a szczyty górskie to stożki. Tak na przyrodę patrzył Euklides, ojciec geometrii. Klasyczna "…geometria nie potrafi opisać kształtu chmury, góry, linii brzegowej lub drzewa. Chmury nie mają kształtu kuli, góry nie mają kształtu stożka, linia brzegowa nie jest okręgiem, kora nie jest gładka, a błyskawica nie biegnie po prostej" .
Formy te, niedające się opisać klasyczną geometrią, starano się opisać za pomocą tworów, które są jakby jej zaprzeczeniem. Twory te to FRAKTALE.
Drzewa Pitagorejskie
Bardzo ciekawe konstrukcje geometryczne były tworzone przez matematyków szukających pierwiastków kwadratowych z liczb całkowitych. Jedna z nich pozwala na skonstruowanie dla dowolnej liczby całkowitej n. Powstała konstrukcja to tzw. spirala pierwiastków kwadratowych. Przedstawiając idee powstawania tej konstrukcji, należy zacząć od trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych 1. Przeciwprostokątna ma długość , następnie konstruujemy kolejny trójkąt prostokątny tak, że przyprostokątne mają długość 1 i przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość równą pierwiastek z trzech.
Kolejnym fraktalem będzie drzewo pitagorejskie. Proces powstawania ilustruje rysunek poniżej.
Stosując powyższe zasady możemy modyfikować sposób powstawania fraktali tego typu, używając trójkątów równoramiennych lub modyfikując w inny dowolny sposób. Poniższy rysunek przedstawia efekty takich modyfikacji.
Na pierwszym z nich widać coś w rodzaju liścia lub amonita, na drugim coś na wzór liśćia paproci. Mimo różnego wyglądu, powstały na tej samej zasadzie sprzężenia zwrotnego widocznego w procesie konstrukcji. Tego typu fraktale są wykorzystywane jako narzędzie badawcze w botanice. Na podobnych obserwacjach powstały L-systemy.
http://www.sp236gim61.neostrada.pl/publikacje/BBogucka6.htmhttp://fraktale.stach.org.pl/